數學與文化

齊民友

    討論文化問題，可以列舉文化的各個部門：科學、文學、藝術、政治、宗教、倫理……請注意，數學也是文化的一部分。數學和任何其他學科不同，它幾乎是任何科學所不可缺少的。沒有任何一門科學能像它那樣澤被天下。它是現代科學技術的語言和工具，這一點大概沒有什么人會懷疑了。它的思想是許多物理學說的核心，并為它們的出現開辟了道路。了解這一點的人就比較少了。它曾經是科學革命的旗幟，現代科學之所以成為現代科學，第一個決定性的步驟是使自己數學化。為什么會這樣？因為數學在人類理性思維活動中有一些特點。這些特點的形成離不開各個時代的總的文化背景，同時又是數學影響人類文化最突出之點。我這里并不想概括什么是數學文化，而只是就它對人類精神生活影響最突出之處提出一些看法。誠然，其他的學科也可能有這些特點，但大抵是與受數學的影響分不開的。

    首先，它追求一種完全確定、完全可靠的知識。在這本小書里可以看到許多被吸引到數學中來的人正是因為數學有這樣的特點。例如說，歐幾里得平面上的三角形內角和為180°,這絕不是說“在某種條件下”，“絕大部分”三角形的內角和“在某種誤差范圍內”為180°,而是在命題的規(guī)定范圍內，一切三角形的內角和不多不少為180°。產生這個特點的原因可以由其對象和方法兩個方面來說明。從希臘的文化背景中形成了數學的對象并不只是具體問題，數學所探討的不是轉瞬即逝的知識，而是某種永恒不變的東西。所以，數學的對象必須有明確無誤的概念，而且其方法必須由明確無誤的命題開始，并服從明確無誤的推理規(guī)則，借以達到正確的結論。通過純粹的思維竟能在認識宇宙上達到如此確定無疑的地步，當然會給一切需要思維的人以極大的啟發(fā)。人們自然會要求在一切領域中都這樣去做。正是因為這樣，而且也僅僅因為這樣，數學方法既成為人類認識方法的一個典范，也成為人在認識宇宙和人類自己時必須持有的客觀態(tài)度的一個標準。就數學本身而言，達到數學真理的途徑既有邏輯的方面也有直覺的方面，但就其與其他科學比較而言，就其影響人類文化的其他部門而言，它的邏輯方法是最突出的。這個方法發(fā)展成為人們常說的公理方法。迄今為止，人類知識還沒有哪一個部門應用公理方法得到如數學那樣大的成功。但是，如果到今天某個知識部門還是只有論斷而沒有論據，只是一堆相互沒有邏輯聯系的命題，前后又無一貫性，恐怕是不會有人接受得了。每個論點都必須有根據，都必須持之有理。除了邏輯的要求和實踐的檢驗以外，無論是幾千年的習俗，宗教的權威、皇帝的救令、流行的風尚統(tǒng)統(tǒng)是沒有用的。這樣一種求真的態(tài)度，傾畢生之力用理性的思維去解開那偉大而永恒的謎——宇宙和人類的真面目是什么？——是人類文化發(fā)展到高度的標志。這個偉大的理性探索是數學發(fā)展必不可少的文化背景，反過來也是數學貢獻于文化最突出的功績之一。

    數學作為人類文化組成部分的另一個特點是它不斷追求最簡單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本。所有這些研究都是在極抽象的形式下進行的。這是一種化繁為簡以求統(tǒng)一的過程。從古希臘起，人們就有一個信念：冥冥之中最深處宇宙有一個偉大的、統(tǒng)一的而且簡單的設計圖，這是一個數學設計圖。在一切比較深入的科學研究后面，必定有一種信念驅使我們。這個信念就是：世界是合理的，簡單的，因而是可以理解的。對于數學研究則還要加上一點：這個世界的合理性，首先在于它可以用數學來描述。在古代，這個信念有些神秘色彩?？墒前l(fā)展到現代，科學經過了多次偉大的綜合。如歐幾里得的綜合；牛頓的綜合；麥克斯韋的綜合；愛因斯坦的綜合；量子物理的綜合；計算機的出現，哪一次不是或多或少遵循這個信念？也許有例外：達爾文和孟德爾。但是今天已經開始，人們在用數學去討論物種的進化與競爭，討論遺傳的規(guī)律。人們會又一次看見宇宙的根本規(guī)律表現為一種抽象的、至少是數學味很重的設計圖。這不是幻想而是現實。為什么DNA的雙螺旋結構是在卡文迪什實驗室完成，受了研究分子結構的X射線衍射方法那么多好處？難道看不出這也是一種把生命歸結為最簡單成分的不同位置、不同形式、不同數量而成的數學味很重的結構嗎？這種深層次的研究是能破除迷信的，它鼓勵人們按照最深刻的內在規(guī)律來考慮事物。我們?yōu)槭澜鐖D景的精巧和合理而欣喜而驚異這種感情正是人類文化精神的結晶。數學正是在這樣的文化氣氛中成長的，而反過來推動這種文化氣氛的發(fā)展?，F在應該提出的問題是，對這樣一種信念應該怎樣去估價？是否還應該同時也看到它的不足的一面？從科學史看來，一直存在一種“還原”電傾向：把復雜的現象歸結為一些最簡單的最原始的因素的作用。物體分成了“質點”“電荷”，分成了分子、原子、亞原子的粒子；生物分成了細胞，然后又是細胞核、細胞質、染色體、基因、核酸......豐富無比、千差萬別的世界的多樣性似乎越來越被歸納為這些基本的成分或稱為宇宙的磚石在數量上、形狀上、結構上的差別，這當然是數學發(fā)揮作用的大好場所。同時也就產生了一種越來越深刻的疑問：大千世界真是由這些最簡單的成分疊加的嗎？難道線性的疊加原理意是宇宙的最根本法則嗎？由一堆磚石固然可以建成宏偉的紀念碑，卻也可以搭起一座馬棚，它們的區(qū)別究竟何在？可是，每一個從事數學研究的人仍然抱有下面說的信念：想解決這個更深刻的問題——我把它稱為綜合，而把那種還原的傾向稱為分析——仍然要靠數學，當代數學的發(fā)展將越來越證實這一點。

    數學的再一個特點是它不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己。在發(fā)揮自己力量的同時又研究自己的局限性，從不擔心否定自己，而是不斷反思、不斷批判自己，并且以此開辟自己前進的道路。它不斷致力于分析自己的概念，分析自己的邏輯結構。它不斷地反思：自己的概念、自己的方法能走多遠？從希臘時代起，畢達哥拉斯認為宇宙即數（他是指自然數）,可是遇到了無理數，后來的希臘人只好采用不可公度理論，因為弄不清，就干脆不講無理數，而討論一般的線段長。希臘人甚至不講數，使希臘數學與其他民族——例如中國——相比呈現了缺點。但即令如此，也要保持高度嚴整，而不允許采取折中主義的態(tài)度。歷史終于證明，正是希臘人開辟了研究無理數系的道路。他們研究數學，卻同時考慮數學研究的對象是否存在。希臘人考慮數學對象的存在問題，把存在歸結為可構造，然后就問：“用直尺與圓規(guī)經有限步驟去三等分任意角可能嗎？”因為弄不清是否可能，即沒有構造的方法以證明三等分角的存在，他們的幾何學中干脆不講一個角的三分之一，只講平分線，從不講角三分線。越向后面發(fā)展，數學就出現了越來越多的“不可能性”：x²+1=0不可能在實數域中求解，五次以上的方程不能用根式求解。平行線公理能不能證明？到20世紀初才知道是既不能證明又不能否證。大家都說，數學最需要嚴格性數學家就要問什么叫嚴格性？大家都說，數學在證明一串串的定理，數學家就要問什么叫證明？數學越發(fā)展，取得的成就越大，數學家就越要問自己的基礎是不是鞏固。越是在表面上看來沒有問題的地方，越要找出問題來。乘法明明是可以交換的，偏偏要研究不可交換的乘法。孟子自嘲地說：“予豈好辯哉？予不得已也！”數學家只需要換一個字：“予豈好'變'哉？予不得已也！”當然，任何科學要發(fā)展就要變。但是只是在與實際存在的事物、現象或實驗的結果發(fā)生矛盾時才變。唯有數學，時常是在理性思維感到有了問題時就要變。而且，其他科學中“變”的傾向時常是由數學中的“變”直接或間接引起的。當然，數學中許多重要的變是由于直覺地感到有變的必要，感到只有變才能直視宇宙的真面目。但無論如何，是先從思維的王國里開始變，即否定自己。這種變的結果時常是“從一無所有之中創(chuàng)造了新的宇宙”。

    到了最后，數學開始懷疑起自己的整體，考慮自己的力量界限何在。大概是到了19世紀末年，數學向自己提出的問題是：“我真是一個沒有矛盾的體系嗎？我真正提供了完全可靠、確定無疑的知識嗎？我自認為是在追求真理，可是‘真’究竟是指什么？我證明了某些對象的存在，或者說我無矛盾地創(chuàng)造了自己的研究對象，可是它們確實存在嗎？如果我不能真正地把這些東西構造出來，又怎么知道它是存在的呢？我是不是一張空頭支票，一張沒有銀行的支票呢？”

    總之，數學是一株參天大樹，它向天空伸出自己的枝葉，吸收陽光。它不斷擴展自己的領地，在它的樹干上有越來越多的鳥巢，它為越來越多的學科提供支持，也從越來越多的學科中吸取營養(yǎng)。它又把自己的根伸向越來越深的理性思維的土地中，使它越來越牢固地站立。從這個意義上來講，數學是人類理性發(fā)展最高的成就（或者再加上“之一”二字更好一些）。

    數學深刻地影響人類精神生活，可以概括為一句話，就是它大大地促進了人的思想解放，提高與豐富了人類的整個精神水平。從這個意義上講，數學使人成為更完全、更豐富、更有力量的人。愛因斯坦說的“得到解放”，其實正是這個意思。

    數學作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達了一種探索精神。數學的出現，確實是為了滿足人類的物質生活需要?？墒?，離開了這種探索精神，數學是無法滿足人的物質需要的?！帮L調雨順”是人類的物質生活不可少的。可是“巫師”的“祈雨”不也是滿足需要的“手段”之一嗎？人總有一個信念：宇宙是有秩序的。數學家更進一步相信，這個秩序是可以用數學表達的，因此人應該去探索這種深層的內在的秩序，以此來滿足人的物質需要。因此，數學作為文化的一部分，其永恒的主題是“認識宇宙，也認識人類自己”。在這個探索過程中，數學把理性思維的力量發(fā)揮得淋漓盡致。它提供了一種思維的方法與模式，提供了一種最有力的工具，提供了一種思維合理性的標準，給人類的思想解放打開了道路?，F在人人都知道實驗方法的重要性，但是任何科學實驗，離開了一定的邏輯思維，將是沒有意義的。在伽利略的時代就是這樣，他的許多實驗都是所謂理想實驗，在近代就更是這樣。在不同的時代有不同的文化，不同的民族有不同的文化。但是，數學在文化中的這一地位是不可移易的，并且日益加強，有人認為數學是現代文化的核心或基石，始終處于中心地位，而影響到人類知識的一切部門，似乎沒有必要去爭這個“中心”或“核心”的地位，但是歷史已經證明，而且將繼續(xù)證明，一種沒有相當發(fā)達的數學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數學作為一種文化的民族也是注定要衰落的。

注釋：

本文節(jié)選自《數學與文化》（湖南教育出版社1991年版）的緒言。

【澤被】恩澤廣布。被，遍及。

【歐幾里得平面】指以歐幾里得平行公理為前提的平面，在非歐幾何中，三角形的內角和就不是180“了，歐幾里得約生活于公元前300年，古希臘數學家，所著《幾何原本）一書，將在他之前希臘幾何積累起來的成果歸納在嚴密的邏輯系統(tǒng)中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的學科。

【牛頓（1643-1727)】英國偉大的數學家、物理學家、天文學家。在數學上創(chuàng)建了微積分，在物理學上建立了經典物理學理論體系，在天文學上提出了萬有引力定律，是近代科學的集大成者。

【麥克斯韋（1831-1879)】英國物理學家。提出了作為經典電動力學基礎的麥克斯市方程組，統(tǒng)一了電磁理論。

【愛因斯坦（1879-1955)】20世紀最偉大的自然科學家，生于德國大的自然科學家，生于德國移居美國。在光量子論、分子運動論方面都成績卓著。他創(chuàng)建的狹義相對論和廣義相對論，在更高層次上解釋了物質運云時空關系，推動了現代物理學的革命，是一種新的綜合。

【量子物理的綜合】指以量子力學為核心的量子物理學所取得的成就，量子力學是研究微觀粒子運動規(guī)律的科學，已成為近代物理學的基礎理論之一，并且得到廣泛的應用。

【孟德爾（1822-1884）】奧地利遺傳學家，遺傳學的莫基人。他通過進行碗豆雜交實驗，提出了遺傳的分離定律和獨立分配定律，這兩個定律成為遺傳學的基本定律。

【卡文迪什實驗室】即英國劍橋大學的物理系，籌建于1871年，是世界上最聲望物理學研究和教育中心之一。這所實驗室是為紀念英國物理學家和化學家卡文迪什（1731-1810)而命名的。

【射線衍射方法】X射線照射到分子整齊排列的晶體上時，會產生一系列衍射點。從這些衍射點的空間排列規(guī)律及強度，可以推算出分子在晶體中的排列情況和原子在分子中的立體排列情況。利用這一原理測定分子立體結構的方法稱為X射線衍射方法。美國遇學家沃森和英國物理學家克里克根據英國晶體衍射專家維爾金斯對脫氧核糖核酸（DNA)的X射線衍射資料，提出了DNA的雙螺旋結構模型。

【染色體】真核細胞有絲分裂和減數分裂時出現的由染色質聚集而成的結構，一般呈棒狀，因易被堿性染料著色，故稱染色體，主要由核酸和蛋白質組成，是遺傳物質的主要基礎。

【基因】遺傳物質的最小功能單位，多數生物的基因由脫氧核糖核酸（DNA)構成，并在染色體上呈線狀排列。

【核酸】由數十至數十億個核苷酸通過磷酸二酯鍵連接成的生物大分子，存在于所有動物、植物、微生物體內，根據組成成分不同可分為脫氧核糖核酸（DNA)和核糖核酸（RNA)兩大類，是生命最基本的物質之一。

【線性的疊加原理】指事物呈直線增長，線性是一個數學概念，即數學對象之間的關系是以一次的形式來表達的，是成正比例增長的，可以用直線表示。

【華達哥拉斯（約前580一約前500)】古希臘哲學家、數學家、天文學家。他是“畢達哥拉斯學派”的領袖，相信數是萬物的本原。畢達哥拉斯以發(fā)現勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）而著稱于世。

【不可公度理論】畢達哥拉斯學派把那些能用整數之比表達的比稱作可公度比，而把那些不能用整數之比表達的比稱作不可公度比，他們認為不可公度比（相比的兩個量不能用一個公共度量單位量盡）就意味著不和諧完美，所以不去研研究它，這實際上是不承認無理數的存在。

【予豈好辨哉？予不得已也】這句話見于《孟子·膝文公下》，是孟子回答別人間話的話。（別人問他：“外人皆稱夫子好辯，敢問何也？”）

【伽利略（1564-1642)】意大利偉大的物理學家、天文學家。他在人類歷史上首先通過科學實驗的方法融會貫通了數學，物理學和天文學三門知識，在物理學上闡明了慣性原理和加速度原理，是科學革命的先驟者。

【學習提示】

本文從“數學與文化”的角度，探討了數學所體現出的人類理性精神，論述了在現代科學數學化的趨勢下，數學作為科學語言的重要地位，高度評價了數學在促進人類思想解放、擺脫宗教迷信和不斷創(chuàng)新發(fā)展的歷史功績，把數學提到影響文化興亡、民族盛衰的高度來認識，從而得出了“一個沒有現代數學的文化是注定要衰落的”結論，表現了作者對數學與文化關系的深切理解和豐富感受。

【自我測試】

1、作者認為，數學和“其他學科”具有怎樣的關系？(用原文的話回答）

2、作者在本文中論述了數學文化的幾個特點？是分別從什么角度論述的？

3、下面對課文內容的理解，正確的一項是（      )。

A.數學所探討的對象是明確無誤的具體問題

B.數學所運用的最為突出的方法是邏輯推理

C.古希臘人認為冥冥宇宙具有不可知的神秘色彩

D.大千世界的多樣性是數學文化追蹤的永恒主題

4、下面對課文內容的理解，不正確的一項是（      )。

A.數學化是現代科學的一個突出特點

B.“數學味”是指宇宙規(guī)律的抽象性

C.數學學科在不斷反思自身中前進

D.數學文化的發(fā)展離不開實驗方法

【參考答案】

1、“數學也是文化的一部分”，“它是現代科學技術的語言和工具”。

2、

（1）從數學學科本體方面，論述了數學“追求一種完全確定，完全可靠的知識”的特點。

（2）從數學作為一種科學語言方面，論述了數學“不斷追求最簡單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本”的特點。

（3）從數學發(fā)展的歷史方面，論述了數學“不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己”的特點。

3、B

4、D